Enseigner les mathématiques efficacement

Cette page est fortement inspirée du livre de Margaret Smith et Miriam Gamoran Sherin, The 5 practices in practice, 2019.

Les auteures établissent un tableau des 8 méthodes efficaces d’enseignement des mathématiques.

Établir des buts clairs afin de focaliser les apprentissages.
Afin d'être efficace, les élèves doivent connaître les buts visés.
Les buts doivent être élaborés en suivant le processus d'apprentissage et ceux-ci doivent guider l'enseignement et l'évaluation.
Privilégier l'utilisation de tâches qui favorise le raisonnement et la résolution de tâches complexes
En utilisant des tâches complexes, l'enseignant induit des discussions et des raisonnements riches. Les points d'entrées sont multiples et plusieurs solutions sont parfois possibles.
Créer et mettre en évidence des connexions entre différentes représentations. Un enseignement efficaces des mathématiques encourage les élèves à faire des liens entre diverses représentations d'un concept.
Faciliter les discussions entre les élèves dans le but qu'ils puissent partager une compréhension commune des concepts mathématiques. Les élèves seront amenés à comparer leurs méthodes et à argumenter.
L'enseignant pose des questions qui nécessitent une bonne dose de réflexion.
Baser les automatismes sur la compréhension des concepts sous-jacents. Cela permettra aux élèves de mieux comprendre ce qu'ils font. Ils seront ensuite plus à l'aise pour adapter leurs connaissances à des nouveaux domaines.
Proposer et accompagner les tâches difficiles. Un enseignement efficace des mathématiques consiste à proposer aux élèves seuls ou en groupes, des tâches demandant un effort intellectuel au niveau des concepts utilisés.
Récolter et utiliser les preuves de réflexion de vos élèves permettra de mettre en évidence leurs progrès. Cela vous permettra également d'adapter vos explications afin de favoriser la compréhension de chaque élève.

Vue d’ensemble des 5 pratiques qui seront développées par la suite :

Pratique à mettre en place lors de la planification des leçons.Pratique 0: Spécifier les objectifs et sélectionner les tâches. Vous spécifiez les objectifs d'apprentissages et vous choisissez des activités à haut niveau intellectuel.
Pratique 1: Anticiper les réponses des élèves. Réfléchissez à la façon dont vous aimeriez que les élèves résolvent la tâche proposée et préparez des questions auxquelles ils vont devoir répondre.
Pratiques mises en place lors de l'enseignement mais qui ont été pensées lors de la planificationLes élèves travaillent individuellement ou en groupePratique 2: Obeserver le travail des élèves. Vous regarder attentivement le travail des élèves et vous leur posez des questions afin de vous assurez de l'acquisition des concepts. Ainsi vous pouvez les amener à raisonner plus loin
Passer du travail de groupe à la discussion de classePratique 3: Sélectionner la solution d'un élève. Sélectionnez le travail d'un élève qui permettra de mettre en évidence les objectifs qui doivent être atteints.
Pratique 4: Séquencer le travail de l'élève. Déterminez l'ordre dans lequel vous donnez les solutions afin de créer un déroulement cohérent de la leçon.
Discussion avec toute la classePratique 5: Faire des liens entre les productions d'élèves. Établissez des connections entre les solutions des élèves et les objectifs de la leçon.

0: Spécifier les objectifs et sélectionner les tâches

La première étape lors de la panification d’une leçon consiste à préciser les objectifs que les élèves devront atteindre. La figure suivante propose deux façon différentes de rédiger des objectifs. Qu’est-ce qui est différent ? Est-ce que la différence est importante ?

NotionsObjectif AObjectif B
PenteLes élèves doivent être capables de calculer la pente d'une droite à l'aide de deux points donnés.Les élèves comprennent que la pente est le quotient du changement vertical divisé par le changement horizontal entre n'importe quel couple de points.
Double distributivitéLes élèves doivent effectuer la double distributivité en multipliant le premier avec le premier, le premier avec le second, le second avec le premier et le second avec le second.Les élèves vont reconnaître que (x+a) et (x+b) sont des facteurs et que chacun peut représenter une dimension d'un rectangle et que le produit de ces facteurs représente l'aire de ce rectangle. Le résultat de cette aire peut être représenté par l'expression algébrique : ax² + ax +bx + ab. Cette représentation algébrique est aussi le résultat de l'application de la distributivité deux fois. (x+a)(x+b) = x(x+b)+a(x+b) = x² +bx + ax + ab

Les objectifs de la colonne A sont considérés comme des objectifs de performance. Ces objectifs indique ce que les élèves seront capables de faire. Par contre les objectifs de la colonne B sont des objectifs d’apprentissage. Les objectifs d’apprentissage décrivent ce que les élèves vont comprendre des concepts mathématiques.

En général plus les objectifs sont réfléchis plus les décisions faites lors de l’enseignement seront prises dans le but d’améliorer la compréhension des élèves (Mills, 2014, p.2). Si nous voulons que les élèves comprennent ce qu’ils font, nous devons spécifier exactement ce que nous voulons qu’ils comprennent. C’est pourquoi les objectifs d’une leçon ne doivent pas uniquement être fixés en terme d’objectifs procéduraux (performance) mais également en termes d’objectifs de compréhension.

Identifier une tâche complexe qui correspond aux objectifs fixés.

Votre prochaine étape lors de la planification de la leçon consiste à sélectionner une tâche qui correspond aux objectifs fixés. La tâche doit avoir une difficulté qui oblige les élèves à montrer leur compréhension d’un sujet. Une tâche est jugée complexe si aucune piste de départ est proposée (schéma), il ne s’agit pas d’appliquer un algorithme ou une règle simple. Cela signifie que les élèves doivent explorer la tâche, faire des croquis, rechercher des informations. Posez-vous les questions suivantes :

  • Est-ce qu’il existe plusieurs chemins permettant d’entrer dans le problème et montrer ses compétences ?
  • Est-ce que la tâche nécessite une justification ou une explication ?
  • Est-ce que la tâche permet de faire des connexions entre différentes représentation mathématiques ?
  • Est-ce que la tâche permet de développer une modélisation, des généralisation, des règles ?

Vous faites face à plusieurs difficultés lorsque vous devez définir des objectifs et sélectionner des tâches. En voici quatre en particulier :

DifficultéDescription
Identifier les objectifs d'apprentissageLes objectifs doivent se focaliser sur ce que les élèves vont apprendre et pas sur ce qu'ils vont faire.
Développer une tâche complexeSouvent ces tâches ne sont pas directement disponible dans les manuels. C'est à l'enseignant de les développer.
S'assurer que la tâche permet d'atteindre l'objectifMême avec des objectifs bein définis, il arrive que l'enseignant propose des tâches qui ne font pas progresser les élèves
Introduire la tâche afin que tous les élèves se l'approprieL'enseignant doit présenter la situation de façon clair mais sans influencer la méthode de résolution

1: Anticiper la réponse des élèves

Après avoir défini les objectifs et sélectionné les tâches, il est maintenant nécessaire d’anticiper les réponses de vos élèves. Vous devrez vous plonger dans la tâche et identifier les différentes stratégies que les élèves vont mettre en place. De quelle manière allez-vous répondre à ces stratégies durant votre enseignement ?

ActionQuestions
S'approprier le problèmeComment peut-on résoudre la tâche
Comment les élèves peuvent-ils commencer la tâche ?
Quelles difficultés les élèves vont-ils rencontrer ?
Réfléchier aux réponses à donner aux élèvesQuelles questions allez-vous poser pour mettre en évidence la façon de penser de l'élève ?
Quelles questions vont vous permettre de faire avancer les élèves.
Comment mettre en évidence la réflexion des élèves ?Quelles stratégies voulez-vous voir en oeuvre ?

La première étape consiste à résoudre la tâche complexe en réfléchissant à sa propre approche. Il convient d’y réfléchir globalement puis en détails en analysant les étapes effectuées. Puis considérez les élèves, quelles approches vont-ils utiliser ? Quelles sont les différentes représentations qu’ils pourraient faire ? Auront-ils besoin d’objets à manipuler ? Quels sont les points d’entrée ? Lors de vos réflexions, gardez en tête les difficultés auxquelles vos élèves pourraient être confrontés. Y a t’il une partie de la tâche particulièrement difficile ? Où pourraient-ils être bloqués ?

Le seconde étape consiste à préparer vos réponses aux questions des élèves. Cette étape se base sur l’étape précédente et sur les approches que vous avez pu imaginer. L’utilisation de questions avancées permet de faire progresser les élèves. Il s’agit d’utiliser les productions des élèves comme départ de la question. Les questions doivent permettre aux élèves d’aller plus loin en leur demandant de réfléchir à quelque chose qu’ils n’ont pas encore pensé.

Durant cette phase, vous développerez deux types de questions: les questions pour faire avancer les élèves et les question pour vérifier l’acquisition des objectifs.

Afin de récolter des traces durant l’enseignement, il est pratique de dresser un tableau à 5 colonnes et de se balader dans la classe en prenant des notes.

Stratégie de résolutionQuestion pour évaluer les acquisQuestion pour faire avancer les élèvesQui et quoiOrdre
Stratégie 1Question aQuestion c
Stratégie 2Question bQuestion d
Autre

Sherin et van Es (2009) expliquent qu’il est intéressant pour l’enseignant d’arriver à remarquer les apprentissages mathématiques des élèves durant la résolution des tâches. Il s’agit de faire le tri dans la grande quantité d’informations que vous captez durant une leçon. La table ci-dessus permet de récolter ce genre d’informations. La colonne « Qui » permet de recenser les stratégies utilisées par les élèves.

Il est parfois compliqué d’imaginer différents chemins pour résoudre un problème. Un technique consiste à réfléchir aux différentes façons de représenter un problème :

  • Visuel (diagramme, graphique, image)
  • Algébrique
  • Physique (objet)
  • Verbal (phrases, texte)
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